アポロニウスの円【解答編】
問題1の解答
【問題１】3つの点を通る円
ソース
import geometry; size(6cm,0); point A=(0,0) , B=(4,0) , C=(3,5); circle c= circle(A,B,C); draw(c); dot("$A$",A,SW); dot("$B$",B,E); dot("$C$",C,NE);
問題２の解答
【問題２】3本の直線に接する円
この問題は，3本の直線がそれぞれ交点を持ち三角形ができる場合と，3本のうち2本が平行になる場合があります。
(1)3本の直線がそれぞれ交点を持ち三角形ができる場合
解答は，三角形の内接円と，傍接円の計4個あります。
ソース
import geometry; size(20cm,0); // 三つの直線の交点を指定 point A=(0,0) , B=(8,0) , C=(3,5); // 三本の直線を描画 line l1=line(A,B) , l2=line(B,C) , l3=line(C,A); draw(l1);draw(l2);draw(l3); // 内接円を描画 circle c= incircle(A,B,C); draw(c); dot("$A$",A,S+2W); dot("$B$",B,S+3E); dot("$C$",C,2N); // 円の中心を描画 dot("$I$",c.C,E); // 接点を描画 point[] P=intersectionpoints(l1,c); dot("$P$",P[0],S); point[] Q=intersectionpoints(l2,c); dot("$Q$",Q[0],NE); point[] R=intersectionpoints(l3,c); dot("$R$",R[0],NW); // 三角形の傍接円 triangle t=triangle(A,B,C); circle ec=excircle(t.AB); clipdraw(ec, 0.8green); dot(ec.C, green); ec=excircle(t.AC); clipdraw(ec, 0.8green); dot(ec.C, green); ec=excircle(t.BC); clipdraw(ec, 0.8green); dot(ec.C, green);
直線が先に与えられている場合には，
point A=intersectionpoint(l2,l3);
のように交点を求めてやればよいでしょう。
(2)3本のうち2本が平行になる場合
この場合の解答は，2個の接円になります。
もっとエレガントな解答があるかと思いますが，ズバリという関数が見つからなかったので，角の二等分線を作り，その交点から接円の中心を求めてみました。
ソース
import geometry; /* 2本の平行線に挟まれる接円を返す関数 点Pを中心に，直線pl1とl3の二等分線を９０度回転させている。 */ circle pararelLineIntersectionCircle( point P , line pl1 ,line pl2 , line l3){ // ２本の角の二等分線から，その交点を求める。その交点が接円の中心 line b1 = rotate(90,P)*bisector(l3,pl1); line b2 = bisector(l3,pl2); point pC = intersectionpoint(b1,b2); // 直径となる，平行線と円の接点を求める line m=perpendicular(pC,pl2); point[] M; M[0] = intersectionpoint(pl1,m); M[1] = intersectionpoint(pl2,m); // 接円を返す return circle(M[0],M[1]); } size(10cm,0); // 三つの直線を指定する点 point A=(0,0) , B=(8,0) , C=(0,6) , D=(5,6); // 三本の直線を描画 line l1=line(A,B) , l2=line(C,D) , l3=line(B,D); draw(l1);draw(l2);draw(l3); // 点を描画 dot("$A$",A,2S); dot("$B$",B,S+2E); dot("$C$",C,2N); dot("$D$",D,NE); // 接円を取得 circle c = pararelLineIntersectionCircle(D,l2,l1,l3); draw(c); // 円の中心を描画 dot("$I$",c.C,E); // 接点を描画 point [] M; M[0] = intersectionpoints(c,l1)[0]; M[1] = intersectionpoints(c,l2)[0]; M[2] = intersectionpoints(c,l3)[0]; dot("$P$",M[0],S); dot("$Q$",M[1],N); dot("$R$",M[2],NE); // 反対側の接円を取得 circle c = pararelLineIntersectionCircle(B,l1,l2,l3); draw(c); // 円の中心を描画 dot("$I'$",c.C,E); // 接点を描画 M[0] = intersectionpoints(c,l1)[0]; M[1] = intersectionpoints(c,l2)[0]; M[2] = intersectionpoints(c,l3)[0]; dot("$P'$",M[0],S); dot("$Q'$",M[1],N); dot("$R'$",M[2],SW);
問題３の解答
【問題３】2つの点を通り直線に接する円
この問題は，与えられた2点でできる直線が，与えられた直線と平行になる場合と平行にならない場合があります。
平行になる場合には，解答となる円は一つに定まりますが，平行にならないときは二つの円が解答になります。
【問題２】の時にはソースが二つになりましたが，今回は，一つのソースで両方の場合に対処できるようにしてみました。そのために，if 文を使っています。
（１）与えられた2点でできる直線が，与えられた直線と平行になる場合
（２）与えられた2点でできる直線が，与えられた直線と平行にならない場合
どちらも一つのソースで，指定する点の座標を変えるだけで作図することができます。
import geometry; /* ======================================================================= * * ２点を通り１つの直線に接する円を返す * * ２点でできる直線が，与えられた直線と平行な時は * ２点の垂直二等分線と，与えられた直線との交点を求め， * 円を通る３番目の点としています。 * * ２点でできる直線が，与えられた直線と平行でない時は * ２個の接円が得られるので，int select を使って選べるようにしました。 */ circle circlePPL(point a, point b, line l, int select = 0 ) { if(select > 0) select = 1; else select = 0; point[] P; line m = line(a,b); if( parallel(l , m) ) { select = 0; line lm = bisector(a,b); P[select] = intersectionpoint(l,lm); } else { point B1=reflect(l)*b, I=intersectionpoint(l,m), B2=rotate(180,I)*b; circle cI = circle(a,B1,B2); P = intersectionpoints(l,cI); } return circle(a,b,P[select]); } /* ======================================================================= */ size(10cm,0); // 円に接するべき直線を与える point pL1=(0,0), pL2=(5,0); line l = line(pL1,pL2); // 円が通るべき２点を与える point pA=(1,1), pB=(2,3); /* * ２点を通り１つの直線に接する円を受け取り描画 * * for ループで回すために，本筋と関係ない余分な変数を使っています */ int k=2; if ( parallel(l, line(pA,pB)) ) k=1; circle c; point[] pT; for(int i=0;i<k;i+=1) { // 接円を取得して描画 c = circlePPL(pA, pB, l , i); dot(format("$O_{%i}$",i+1) , c.C , E); draw(c); // 直線との接点を描画 pT = intersectionpoints(c,l); dot(format("$T_{%i}$",i+1) ,pT[0], 2S); } // 与えられている２点と直線を描画 draw("$l$",l); dot("$A$",pA,2W); dot("$B$",pB,N+E);
問題４の解答
【問題４】1つの点を通り2本の直線に接する円
問題５の解答
【問題５】1つの円と2本の直線に接する円
問題６の解答
【問題６】2つの点を通り1つの円に接する円
問題７の解答
【問題７】1つの点を通り1つの円と1本の直線に接する円
問題８の解答
【問題８】2つの円と1本の直線に接する円
問題９の解答
【問題９】1つの点を通り2つの円に接する円
問題10の解答
【問題１０】3つの円に接する円
Asymptote 習作編
for 文も使えます
ソース
import graph; size(200,0); for (real m=0;m<8;m+=1) { real f(real x) {return -1*x +m;} draw(graph(f,-1,m+1,operator ..)); for (real n=7-m;n>-1;n-=1) { dot((m,n)); } } xaxis("$x$"); yaxis("$y$"); label("$O$",(0,0),SW); labelx(1,S); labelx(7,S); labely(1,W);labely(7,W);
Asymptote きみに
ほれました。
つきあいが長くなるな。そう感じました。
君ならどんなのでも作図してくれそうだな。そう思いました。
作図してもらいたい。そう思いました。
おたがいがよく知りあう期間が必要だな。そう思いました。
たくさんのサンプルたちがありました。
そうか。君はこんなことがこんなに簡単にできちゃうんだ。
あるとき問題クンが現れました。
話してみたら，『2点を通り，一つの直線に接する円をかけ』だということに気づきました。
サンプルたちの中によい香りを放つ図形クンがありました。
その図形クンが答えを持っていました。
立体クンがやってきました。
サンプルクンたちに聞いてみることにしました。
えっ！
きみは！
うごくんだ！
